Образец для цитирования:
Ковалёв В. А., Радаев Ю. Н. СВЯЗАННЫЕ ТЕРМОУПРУГИЕ ВОЛНЫ ТРЕТЬЕГО ТИПА ЗАДАННОГО АЗИМУТАЛЬНОГО ПОРЯДКА В ВОЛНОВОДЕ С ПРОНИЦАЕМОЙ ДЛЯ ТЕПЛА СТЕНКОЙ // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 4. С. 86-108. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2011-11-4-86-108
СВЯЗАННЫЕ ТЕРМОУПРУГИЕ ВОЛНЫ ТРЕТЬЕГО ТИПА ЗАДАННОГО АЗИМУТАЛЬНОГО ПОРЯДКА В ВОЛНОВОДЕ С ПРОНИЦАЕМОЙ ДЛЯ ТЕПЛА СТЕНКОЙ
Работа посвящена изучению распространения обобщенных связанных термоупругих волн заданного азимутального порядка в длинном цилиндрическом волноводе кругового поперечного сечения. При этом предполагается, что стенка волновода свободна от нагрузок и является проницаемой для тепла. Исследование проводится в рамках теории связанной обобщенной термоупругости третьего типа (GNIII), согласующейся с основными принципами термомеханики. Данная теория сочетает оба известных типа распространения тепла в твердых деформируемых телах: термодиффузионный и волновой. Предельными случаями обобщенной термоупругости типа III являются классическая термоупругость (GNI/CTE) и гиперболическая термоупругость (GNII), которые могут быть сформулированы в терминах классической теории поля. Дифференциальные уравнения поля в этом случае принадлежат гиперболическому аналитическому типу. Методом разделения переменных в связанных уравнениях линейной термоупругости третьего типа получено их замкнутое аналитическое решение, которое удовлетворяет необходимым краевым условиям на боковой стенке волновода, в том числе условию конвективного теплообмена с окружающей средой. Установлено, что краевые условия на поверхности волновода выполняются отдельно для каждой из волн фиксированного азимутального порядка, поэтому волны различного азимутального порядка распространяются в волноводе независимо друг от друга. Для термоупругой волны заданного азимута построен частотный детерминант. Выполнен численный анализ частотного уравнения на предмет поиска его комплексных корней. При этом в частотном уравнении произведено выделение всех возможных однозначных ветвей квадратных радикалов. Детально описана схема локализации корней частотного уравнения и определены волновые числа связанных термоупругих волн, в частности, первого и седьмого азимутального порядков. Приведены результаты численного анализа в случае связанной волны азимутального порядка 70. Обсуждаются различные аспекты численной реализации предлагаемого подхода.
1. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов, 2010. 328 с.
2. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Элементы теории поля : вариационные симметрии и геометрические инварианты. М., 2009. 156 с.
3. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика // Математическая физика и ее приложения : материалы второй междунар. конф. (под ред. чл.-корр. РАН И. В. Воловича и проф. Ю. Н. Радаева). Самара, 2010. С. 165–166.
4. Duhamel J. Second Memoire sur les Phenomenes ́ Thermo-Mecanique // J. de L’Ecole Polytech. 1837. ́ Vol. 15. P. 1–57; Duhamel J. Memoire sur le Calcul des ́ Actions Moleculaires D ́ evelopp ́ ees par les Changements ́ de Temperature dans les Corps Solides // M ́ emoirs ́ par Divers Savants. A l’Acad. Roy. des Sci. de l’Inst. de France. 1838. Vol. 5. P. 440–498; Neumann F. Vorlesungen uber die Theorie der Elasticit ̈ at der festen ̈ Korper und des Licht ̈ athers. Breslau, 1885. ̈
5. Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости. М.; Л., 1937. 110 c.
6. Maxwell J. C. On the Dynamical Theory of Gases // Phil. Trans. Royal Soc. Lond. 1867. Vol. 157. P. 49–88.
7. Biot M. A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics // J. Appl. Phys. 1956. Vol. 27(3). P. 240–253.
8. Joseph D. D., Preziozi L. Heat waves // Rev. Modern Physics. 1989. Vol. 61, No 1. P. 41–73; Joseph D.D., Preziozi L. Addendum to the paper «Heat waves» // Rev. Modern Physics. 1990. Vol. 62, No 2. P. 375–391.
9. McNelly T. F., Rogers S. J., Channin D. J., Rollefson R. J., Goubau W. M., Schmidt G. E., Krumhansl J. A., Pohl R. O. Heat pulses in NaF: Onset of second sound // Phys. Rev. 1970. Vol. 24(3). P. 100–102.
10. Jackson H. E., Walker C. T., McNelly T. F. Second sound in NaF // Phys. Rev. Letters. 1970. Vol. 25(1). P. 26–28.
11. Rogers S. J. Transport of heat and approach to second sound in some isotopically pure Alkali-Halide crystals // Phys. Rev. B. 1971. Vol. 3(4). P. 1440–1457.
12. Pohl D. W., Irniger V. Observation of second sound in NaF by means of light scattering // Phys. Rev. Letters. 1976. Vol. 36(9). P. 480–483.
13. Hardy R. J., Jaswal S. S. Velocity of second sound in NaF // Phys. Rev. B. 1971. Vol. 3(12). P. 4385–4387.
14. Narayanamurti V., Dynes R. C. Observation of second sound in Bismuth // Phys. Rev. Letters. 1972. Vol. 28. P. 1461–1464.
15. Lord H., Shulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity // J. Mech. Phys. Solid. 1967. Vol. 15. P. 299–309.
16. Cattaneo C. Sur une forme de l’equation de la chaleur ́ eliminant le paradoxe d’une propagation instantan ́ ee // ́ J. of Comptes-Rendus Hebdomadaires des Seances de\ l’Academie des Sciences. 1958. Vol. 247. P. 431–433. ́
17. Vernotte P. Les paradoxes de la theorie continue ́ de l’equation de la chaleur // J. of Comptes-Rendus ́ Hebdomadaires des Seances de l’Academie des Sciences. ́ 1958. Vol. 246. P. 3154–3155.
18. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., 1967. 600 c.
19. Green A. E., Lindsay K. A. Thermoelasticity // J. Elasticity. 1972. Vol. 2. P. 1–7.
20. Green A. E., Naghdi P. M. On undamped heat waves in an elastic solid // J. Thermal Stresses. 1992. Vol. 15. P. 253–264.
21. Green A. E., Naghdi P. M. Thermoelasticity without energy dissipation // J. Elasticity. 1993. Vol. 31. P. 189– 208.
22. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М., 1970. 256 c.
23. Maugin G. A. Towards an analytical mechanics of dissipative materials // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 2000. Vol. 58, No 2. Geom., Cont. and Micros., II. P. 171–180.
24. Maugin G. A., Kalpakides V. K. The slow march towards an analytical mechanics of dissipative materials // Technische Mechanik. 2002. B. 22, H. 2. S. 98–103.
25. Maugin G. A., Kalpakides V. K. A Hamiltonian formulation for elasticity and thermoelasticity // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35. P. 10775–10788.
26. Kalpakides V. K., Maugin G. A. Canonical formulation and conservation laws of thermoelasticity // Reports in Mathematical Physics. 2004. Vol. 53. P. 371–391.
27. Puri P., Jordan P. M. On the propagation of plane waves in type-III thermoelastic media // Proc. Royal Soc. Lond. A. 2004. Vol. 460. P. 3203—3221.
28. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые числа плоских GNIII-термоупругих волн и неравенства, обеспечивающие их нормальность // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. С. 46–53.
29. Dhaliwal R. S., Majumdar S. R., Wang J. Thermoelastic waves in an infinite solid caused by a line heat source // Intern. J. Math. & Math. Sci. 1997. Vol. 20, No 2. P. 323–334.
30. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Распространение связанных гармонических GNIII-термоупругих волн в длинном цилиндрическом волноводе // Вестн. Чувашского гос. пед. у-та им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2010. No 2(8), ч. 2. С. 207–255.
31. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н., Романов А. Е. Прохождение теплового GNIII-волнового сигнала с высокой окружной гармоникой через цилиндрический волновод //Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., посвящ. 80-летию д-ра физ.-мат. наук, проф. Д. Д. Ивлева. Воронеж, 2010. С. 173–180.
