Образец для цитирования:
Кабанцова Л. Ю. Линейные разностные уравнения второго порядка в банаховом пространстве и расщепление операторов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 3. С. 285-293. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2017-17-3-285-293
Линейные разностные уравнения второго порядка в банаховом пространстве и расщепление операторов
В классических учебниках по дифференциальным и разностным уравнениям описан прием сведения дифференциальных и разностных уравнений n-го порядка стандартной заменой к системе дифференциальных и соответственно разностных уравнений первого порядка. Каждое из этих уравнений можно записать в операторном виде. Естественным образом возникает вопрос о совпадении ряда свойств дифференциальных и разностных уравнений (операторов) второго порядка и соответству-ющих операторных уравнений (операторов) первого порядка. В статье рассматривается линейное разностное уравнение второго порядка в комплексном банаховом пространстве с ограниченными операторными коэффициентами. В первой теореме установлена одновременная обратимость разностного оператора второго порядка и соответствующего разностного оператора первого порядка, приведена формула для обратного оператора. Все дальнейшие исследования проводятся в условиях наличия разделённых корней соответствующего «алгебраического» операторного уравнения. В этих условиях в теореме 2 установлено подобие операторной матрицы второго порядка блочнодиагональной операторной матрице. При условии разделённости пары операторных корней в теореме 3 получено необходимое и достаточное условие обратимости разностных операторов второго и первого порядка. В теореме 4 получено представление (формулы) обратных операторов к рассматриваемым. В теоремах 5 и 6 для ограниченных решений на множестве целых неотрицательных чисел получено асимптотическое представление этих решений с помощью операторнозначных функций, которое можно назвать разложением на бесконечности.
1. Баскаков А. Г., Дуплищева А. Ю. Разностные операторы и операторные матрицы второго порядка // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79, № 2. С. 3–20. DOI: https://doi.org/10.4213/im8248.
2. Крейн М. Г., Лангер Г. К. О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуума // Приложение теории функций в механике сплошной среды : тр. междунар. симпозиума в Тбилиси, 1963 : в 2 т. Т. 2 : Механика жидкости и газа, математические методы. М. : Наука, 1965. С. 283–322.
3. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М. : Наука, 1970. 536 c.
4. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М. : Наука, 1967. 464 с.
5. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных алгебраических уравнений. М. : Мир, 1985. 376 с.
6. Левитан Б. М., Жиков В. Б. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1978. 206 с.
7. Баскаков А. Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов // Функц. анализ и его прил. 1996. Т. 30, № 3. С. 1–11. DOI: https://doi.org/10.4213/faa534.
8. Баскаков А. Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов // Матем. заметки. 1996. Т. 59, № 6. С. 811–820. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm1780.
9. Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // УМН. 2013. Т. 68, № 1. С. 77—128. DOI: https://doi.org/10.4213/rm9505.
10. Баскаков А. Г., Пастухов А. И. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1231—1243.
11. Баскаков А. Г. Гармонический и спектральный анализ операторов с ограниченными степенями и ограниченных полугрупп операторов на банаховом пространстве // Матем. заметки. 2015. Т. 97, № 2. С. 174–190. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10285.
12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы : в 3 т. Т. 1. Общая теория. М. : Изд-во иностр. лит., 1962. 896 с.
