Asymptotics of Solutions of Some Integral Equations Connected with Differential Systems with a Singularity
[Асимптотики решений некоторых интегральных уравнений, связанных с дифференциальными системами с особенностью]

В работе изучаются некоторые аспекты теории рассеяния для сингулярных систем дифференциальных уравнений y ′ − x −1Ay − q(x)y = ρBy, x > 0 со спектральным параметром ρ, где A, B, q(x), x ∈ (0, ∞) — n × n матрицы, причем матрицы A, B постоянны. Основным предметом исследования являются некоторые вольтерровские интегральные уравнения относительно тензорно-значных функций. Решения этих уравнений играют центральную роль в построении так называемых решений типа Вейля для исходной системы дифференциальных уравнений. Поскольку классические методы при наличии особенности оказываются неприменимыми, изучение рассматриваемых интегральных уравнений становится в этом случае ключевым этапом исследования аналитических и асимптотических свойств решений типа Вейля. В данной работе мы рассматриваем важный частный случай, когда матрица-функция q(·) является гладкой и q(0) = 0. В этом случае для решений рассматриваемых интегральных уравнений удается получить асимптотические разложения при ρ → ∞ с оценкой остаточного члена o ρ −1 . Полученный результат позволяет получить асимптотики для решений типа Вейля, играющие, в свою очередь, важную роль при исследовании обратной задачи рассеяния.