Cite this article as:

Бегматов А. Х., Пиримбетов А. О., Сеидуллаев А. К. Weakly Ill-posed Problems of Integral Geometry witch Perturbation on Polygonal Lines. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, iss. 1, pp. 5-12. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-1-5-12

Language: 
English
Heading: 
Mathematics
UDC: 
517.946

Weakly Ill-posed Problems of Integral Geometry witch Perturbation on Polygonal Lines

Authors: 
Begmatov A. H., Novosibirsk State Technical University, 630073 Novosibirsk, Russia, Prospekt K. Marksa, 20 , BegAH@ngs.ru
Pirimbetov A. O., Novosibirsk State Technical University, 630073 Novosibirsk, Russia, Prospekt K. Marksa, 20 , azik.8622@mail.ru
Seidullaev A. K., Novosibirsk State Technical University, 630073 Novosibirsk, Russia, Prospekt K. Marksa, 20 , abat_1984@inbox.ru
Abstract: 

We study a problem of reconstruction of a function in a strip from their given integrals with known weight function along polygonal lines. We obtained two simply inversion formulas for the solution to the problem. Using these representations we prove uniqueness and existence theorems for solutions and obtain stability estimates of a solution to the problem in Sobolev’s spaces and thus show their weak ill-posedness. Then we consider integral geometry problems with perturbation. The uniqueness theorems are proved and stability estimates of solutions in Sobolev spaces are obtained.

Key words: 
ill-posed problems, integral geometry problems, integral transforms, inversion formula, uniqueness, existence theorem, weak instability, perturbation
DOI: 
https://doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-1-5-12
References
  1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. : Наука, 1980. 286 с.
  2. Natterer F. The mathematics of computerized tomography (Classics in Applied Mathematics). Philadelphia : SIAM, 2001. 222 p.
  3. Natterer F., Wubbeling F. Mathematical methods in image reconstruction. Philadelphia : SIAM, 2001. 213 p.
  4. Бегматов А. Х. Задача интегральной геометрии для семейства конусов в n-мерном пространстве // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, № 3. С. 500–505.
  5. Успенский С. В. О восстановлении функции, заданной интегралами по одному семейству конических поверхностей // Сиб. матем. журн. 1977. Т. 18, № 3. С. 675–684.
  6. Бегматов А. Х., Пиримбетов А. О., Сеидуллаев А. К. Задачи интегральной геометрии в полосе на семействах параболических кривых // Докл. АН ВШ РФ. 2012. № 2(19). C. 6–15.
  7. Begmatov A. H., Pirimbetov A. O., Seidullaev A. K. Reconstruction stability in some problems of X-ray and seismic tomography // Proc. of IFOST-2012. Tomsk Polytechnic University, 2012. Vol. II. P. 261–266.
  8. Бегматов А. Х., Джайков Г. М. О восстановлении функции по сферическим средним // Докл. АН ВШ РФ. 2013. № 1(20). С. 6–16.
  9. Бегматов А. Х. О единственности решения задачи интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости // Докл. АН. 2009. Т. 427, № 4. С. 439–441.
  10. Бегматов А. Х. Задача интегральной геометрии с возмущением в трехмерном пространстве // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 41, № 1. С. 3–14.
  11. Бегматов А. Х., Петрова Н. Н. Задача интегральной геометрии с возмущением на кривых эллиптического типа в полосе // Докл. АН. 2011. Т. 436, № 2. С. 151–154.
  12. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М. : Изд-во иностр. лит., 1960. 288 c.
Full text:
download
100