Cite this article as:

Plotnikov M. G., Plotnikova J. A. Martingales and Theorems of Cantor–Young–Bernstein and de la Vallée Poussin. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2014, vol. 14, iss. 4, pp. 569-574. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2014-14-4-569-574

Language: 
Russian
Heading: 
Mathematics
UDC: 
517.518.3+519.216.8

Martingales and Theorems of Cantor–Young–Bernstein and de la Vallée Poussin

Authors: 
Plotnikov M. G. , Vologda State Dairy Farming Academy by N.V. Vereshchagin, 2, Schmidt street, Vologda, v. Dairy, Vologda region, Russia , MGPlotnikov@gmail.com
Plotnikova Ju. A., Vologda State Dairy Farming Academy by N.V. Vereshchagin, 2, Schmidt street, Vologda, v. Dairy, Vologda region, Russia , JAPlotnikova@yandex.ru
Abstract: 

Uniqueness problems for one-dimensional Haar series and for multiple ones have understood in numerous works. It is well-known that the subsequence of the partial sums S2k of an arbitrary Haar series can be represented as a discrete-time martingale on some filtered probability space (­Ω, F, (Fk), P). In paper the concept of a U -set for martingales is presented and some uniqueness theorems for martingales on arbitrary compact filtered probability spaces are established. In particular, it is proved that every set U ∈ ∪∞k=0Fk с P(U) = 0 is a U -set for martingales on a compact space (Ω­, F, (Fk), P) (Cantor–Young–Bernstein type theorem). The result above is supplemented by some de la Vallée Poussin type theorems.

Key words: 
set of uniqueness, martingale, filtered probability space, Cantor – Young – Bernstein theorem, de la Vallée Poussin theorem
DOI: 
https://doi.org/10.18500/1816-9791-2014-14-4-569-574
References
  1.  Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М : ГИФМЛ, 1961. 936 с.
  2.  Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М : Изд-во АФЦ, 1999. 560 с.
  3.  Голубов Б. И. Ряды по системе Хаара // Итоги науки. Сер. Математика. Матем. анализ. 1970, 1971. С. 109–146.
  4.  Скворцов В. А. О множествах единственности для многомерных рядов Хаара // Матем. заметки. 1973. Т. 14, № 6. С. 789–798.
  5.  Плотников М. Г. Вопросы единственности для кратных рядов Хаара // Матем. сб. 2005. Т. 196, № 2. С. 97–116. DOI: 10.4213/sm1268.
  6.  Плотников М. Г. О нарушении единственности для двумерных рядов Хаара // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2003. № 4. С. 20–24.
  7.  Арутюнян Ф. Г., Талалян А. А. О единственности рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН СССР. Cер. матем. 1964. Т. 28, вып. 6. С. 1391–1408.
  8.  Скворцов В. А., Талалян А. А. Некоторые вопросы единственности кратных рядов по системе Хаара и тригонометрической системе // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 2. C. 104–113.
  9.  Skvortsov V. Henstock–Kurzweil type integrals in Padic harmonic analysis // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. (N.S.). 2004. Vol. 20, № 2. P. 207–224.
  10.  Плотников М. Г. Некоторые свойства многомерных обобщенных интегралов и теоремы типа Дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 7. С. 63–90. DOI: 10.4213/sm1506.
  11.  Gundy R. F. Martingale theory and pointwise convergence of certain orthogonal series // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 124, № 2. P. 228–248.
  12.  Ширяев А. Н. Вероятность. М. : Наука, 1989. 640 с.
  13.  Skvortsov V. A. Martingale closure theorem for A-integrable martingale sequences // Real Anal. Exchange. 1998–1999. Vol. 24, № 2. P. 815–820.
  14.  Костин В. В. Замкнутость справа мартингальных последовательностей в смысле A-интеграла // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 1. С. 98–104. DOI:10.4213/mzm923.
  15. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики : в 2 т. Т. 1. М. : Фазис, 1998. 512 с. 
Full text:
download
77