Cite this article as:
Kovalev V. A., Radaev Y. N. Mathematical Models and Contemporary Theories of Physical Fields. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2009, vol. 9, iss. 4, pp. 41-94. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-4-2-41-94
Mathematical Models and Contemporary Theories of Physical Fields
Elements of the classical field theory based on a variational formulation of the Hamilton type are discussed and corresponding 4- dimensional Lagrange formalism is presented both as the variational and the group theoretical script. Variational symmetries (geometric and generalized) of field equations and the Noether theorem providing a regular way of obtaining a conservation law for every given variational symmetry are revisited in the study in order to give a complete version of the contemporary field theory. All developments are presented in the non-linear frame (i.e. of finite strains as to continuum mechanics). Natural derivations of all tensor attributes of a physical field are given by the variational symmetry technique. The null Lagrangian theory for n-dimensional manifold (including 4-dimensional Minkowski space-time) is developed in an attempt to extend the canonical formalism of non-linear field theory. By the aid of divergence formula for the null Lagrangians regular in n-dimensional star-shaped domains, a general representation of the null Lagrangian depending as maximum on the first order field gradients is obtained. A method of systematic and derivation of the null Lagrangians for ndimensional manifold is proposed. It is shown that in the case of nonlinear 3-component field in 3-dimensional space the null Lagrangian isrepresented, in general, via 15 arbitrary independent field functions.
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 2 т. Т. I. Механика. М.: Наука, 1973. 208 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 2 т. Т. II. Теория поля. М.: Наука, 1973. 504 с.
3. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Kgl. Ges. Wiss. Nachr. Gottingen. Math.-Physik. Kl. 2. 1918. S. 235–257.
4. Радаев Ю.Н., Гудков В.А. О вычислении нулевых Лагранжианов нелинейно упругого поля // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественно-науч. сер. 2002. Спец. вып. С. 39–56.
5. Maugin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity. L.: Chapman & Hall, 1993. 276 p.
6. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.
7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: В 2 т. Т. 1. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1933. 528 с.
8. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. 1. N.Y.: Interscience Publishers, 1953. 562 p. (Пер. на рус. яз. см. [6]).
9. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.
10. Gelfand I.M., Fomin S.V. Calculus of Variations. (Revised English ed. Translated and edited by R.A. Silverman.) Englewood Cliffs, New Jersey: PrenticeHall, 1963. 232 p. (Оригинальное издание см. [9]).
11. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
12. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
13. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. N.Y.: Springer, 1986. (Пер. на рус. яз. см. [14]).
14. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М: Мир, 1989. 639 с.
15. Olver P.J. Equivalence, Invariants and Symmetry. Cambridge; N.Y.; Melbourne: Cambridge University Press, 1995. 526 p.
16. Эйнштейн А. Собрание научных трудов: В 4 т. Т. 1. Работы по теории относительности. М.: Наука, 1965. 700 с.
17. Дирак П.А.М. Общая теория относительности. М.: Атомиздат, 1978. 64 с.
18. Truesdell C., Toupin R.A. The Classical Field Theories/ Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics, V.III/1 (ed. S. Flugge). Berlin: Springer, 1960. P. 226–793.
19. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
20. Silhavy M. The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media. Berlin; Heidelberg; N.Y.: SpringerVerlag, 1997. 506 p.
21. Bessel-Hagen E. Uber die Erhaultungssatze der Elektrodynamik // Math. Ann. 1921. V. 84. P. 258–276.
22. Меллер К. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1975. 400 с.
23. Maugin G.A. Material forces: Concepts and applications// Applied Mechanics Reviews. 1995. V. 48. P. 213–245.
24. Piola G. Nuovo analisi per tutti le questioni della meccanica moleculare// Mem. Mat. Fis. Soc. Ital. Modena. 1835. V. 21. P. 155–321.
25. Piola G. Intorno alle equazioni fondamentali del movimento di corpi qualsivoglioni considerati secondo la naturale loro forma e costituva// Mem. Mat. Fis. Soc. Ital. Modena. 1848. V. 24(1). P. 1–186.
26. Eshelby J.D. The Force on an Elastic Singularity// Phil. Trans. Roy. Soc. L., 1951. V. A244. P. 87–112.
27. Шварц Л. Анализ: В 2 т. М.: Мир, 1972. Т. II. 528 с.
28. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. 392 с.
29. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.
