Образец для цитирования:
Kuznetsova M. A. Asymptotic Formulae for Weight Numbers of the Sturm – Liouville Boundary Problem on a Star-shaped Graph [Кузнецова М. А. Асимптотические формулы для весовых чисел краевой задачи Штурма – Лиувилля на графе-звезде] // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 1. С. 40-48. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-1-40-48
Asymptotic Formulae for Weight Numbers of the Sturm – Liouville Boundary Problem on a Star-shaped Graph
[Асимптотические формулы для весовых чисел краевой задачи Штурма – Лиувилля на графе-звезде]
В статье исследована краевая задача Штурма–Лиувилля на графе Γ определенного вида. Граф Γ имеет m ребер, смежных с одной внутренней вершиной, а остальные m вершин являются верши- нами степени 1. Краевая задача на данном графе задается дифференциальными выражениями Штурма–Лиувилля с вещественными потенциалами, краевыми условиями Дирихле и стандартными условиями склейки. Определенная таким образом краевая задача имеет счетное множество собственных значений. Мы рассмотрим вычеты диагональных элементов матрицы Вейля в собственных значениях, которые назовем весовыми числами. Элементы матрицы Вейля являются мероморфными функциями с простыми полюсами в собственных значениях. Отметим, что весовые числа в данном случае являются обобщением весовых чисел оператора Штурма–Лиувилля на конечном интервале, которые определяются как обратные величины квадратов норм собственных функций. Эти числа вме- сте с собственными значениями играют роль спектральных данных для однозначного восстановления оператора. С помощью интегрирования по контурам будут получены асимптотические формулы для весовых чисел, в случае асимптотически близких собственных значений будем иметь формулы для сумм. Результаты могут быть использованы для анализа обратных спектральных задач на графах.
1. Yang C.-F., Huang Z.-Y., Yang X.-P. Trace formulas for Schrödinger systems on graphs. Turkish J. Math., 2010, vol. 34, no. 2, pp. 181–196. DOI: https://doi.org/10.3906/mat-0811-7
2. Berkolaiko G., Kuchment P. Introduction to Quantum Graphs. AMS, Providence, RI, 2013. 270 p.
3. Pokorny Yu. V., Penkin O. M., Borovskikh A. V., Pryadiev V. L., Lazarev K. P., Shabrov S. A. Differentsial’nye uravneniia na geometricheskikh grafakh [Differential Equations on Geometrical Graphs]. Moscow, Fizmatlit, 2004. 272 p. (in Russian).
4. Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm–Liouville problems and their applications. New York, Nova Science, 2001. 305 p.
5. Yurko V. A. On recovering Sturm–Liouville operators on graphs. Math. Notes, 2006, vol. 79, iss. 3–4, pp. 572–582. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm2732
6. Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential operators on spatial networks. Russian Math. Surveys, 2016, vol. 71, no. 3, pp. 539–584. DOI: https://doi.org/10.4213/rm9709
7. Bondarenko N. Spectral analysis for the matrix Sturm–Liouville operator on a finite interval. Tamkang J. Math., 2011, vol. 42, no. 3, pp. 305–327. DOI: https://doi.org/10.5556/j.tkjm.42.2011.305-327
8. Pivovarchik V. Inverse problem for the Sturm–Liouville equation on a star-shaped graph. Math. Nachr., 2007, vol. 280, no. 1314, pp. 1595–1619. DOI: https://doi.org/10.1002/mana.200410567
9. Möller M., Pivovarchik V. Spectral theory of operator pencils, Hermite–Biehler functions, and their applications. Cham, Birkhäuser, 2015. 412 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-17070-1
10. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. London, Cambridge University Press, 1934. 456 p.
