Образец для цитирования:
Клячин В. А., Чебаненко Н. А. О геометрических свойствах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 3. С. 294-303. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2017-17-3-294-303
О геометрических свойствах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов
Несложно показать, что если непрерывное и открытое отображение сохраняет ориентацию всех симплексов, то оно является аффинным. В статье рассматривается класс непрерывных, открытых отображений f : D ⊂ R m → R n , сохраняющих ориентацию симплексов из заданного подмножества множества симплексов с вершинами в области D ⊂ R m . В работе исследуются вопросы геометрического строения линейных прообразовтаких отображений. В основу данного исследования положено доказываемое в статье ключевое свойство: если отображение сохраняет ориентацию симплексов из некоторого подмножества B множества всех симплексов с вершинами в области D, то прообраз гиперплоскости при таком отображении не может содержать вершины симплекса из B. На основе анализа структуры множества, обладающего таким свойством, можно получить результаты о его геометрическом строении. В частности, в статье доказано, что если непрерывное и открытое отображение сохраняет ориентацию достаточно широкого класса симплексов,то оно является аффинным. Для некоторых специальных классов треугольников в R 2 с заданным условием на его максимальный угол показано, что прообраз прямой локально является графиком (в некотором случае липшицевой) функции в подходящей декартовой системе координат.
1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М. : Наука; Гл. ред. физ. матем. лит., 1974. 480 с.
2. Lebesgue H. Sur le probleme de Dirichlet // Rend. Circ. Palermo. 1907. Vol. 27. P. 371–402.
3. Mostow G. D. Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms // Publ. Math, de l’lnstitute des Hautes Etudes Scientifiques. 1968. № 34. P. 53–104.
4. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269–1295.
5. Миклюков В. М. Введение в негладкий анализ. Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2008. 424 с.
6. Миклюков В. М. О некоторых признаках существования полного дифференциала // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51, № 4. С. 805–814.
7. Салимов Р. Р. Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения квазиконформных отображений // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72, № 5. С. 141–148. DOI: https://doi.org/10.4213/im2675.
8. Прохорова М. Ф. Проблемы гомеоморфизма, возникающие в теории построения сеток // Тр. ИММ УрО РАН. 2008. Т. 14, № 1. С. 112–129.
9. Болучевская А. В. Сохранение ориентации симплекса при квазиизометричном отображении // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 2. С. 20–23.
10. Клячин В. А., Чебаненко Н. А. О линейных прообразах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов // Вестн. Волгоград. гос. ун-та. Сер. 1: Математика. Физика. 2014. № 3 (22). С. 56–60. DOI: https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2014.3.6.
11. Сакс С. Теория интеграла. М. : Изд-во иностр. лит., 1949. 495 с.
