Образец для цитирования:
Кузнецова М. А. Обобщенная абсолютная сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам функций обобщенной ограниченной вариации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 3. С. 304-312. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2017-17-3-304-312
Обобщенная абсолютная сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам функций обобщенной ограниченной вариации
А. Зигмунд доказал, что 2π-периодическая функция ограниченной вариации из любого класса Липшица Lip(α) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Этот результат был распространен на многие классы функций обобщенной ограниченной вариации (например, на функции ограниченной p-вариации Жордана–Винера, функции ограниченной Λ-вариации, введенные Д. Ватерманом и др.) и на различные пространства, определяемые модулями непрерывности. Мы изучаем сходимость рядов ∞ P k=1 γ k | ˆ f(k)| β , где {γ k } ∞ k=1 является последовательностью из подходящего класса Гоголадзе–Месхиа, а { ˆ f(k)} ∞ k=0 — коэффициенты Фурье f ∈ L 1 [0,1) по мультипликативной системе. Достаточные условия сходимости таких рядов получаются в предположении ограниченности обобщенной вариации, задаваемой числом p > 1 и последовательностью Λ, и в терминах равномерных или интегральных модулей непрерывности. Используя флуктуацию (т.е. осцилляции функции рассмтриваются только по отношению к узкому классу разбиений и их интервалов) вместо вариации, мы получаем более общие утверждения. Результаты данной статьи дают аналоги некоторых теорем Р. Г. Вьяса, касающихся тригонометрических рядов или рядов Уолша, или обобщают их.
1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша : Теория и применения. М. : Наука, 1987. 344 с.
2. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Λ-bounded variation // Studia math. 1976. Vol. 55, № 1. P. 87–95.
3. Shiba M. On absolute convergence of Fourier series of functions of class ΛBV (p) // Sci. Rep. Fukushima Univ. 1980. Vol. 30. P. 7–10.
4. Kita H., Yoneda K. A generalization of bounded variation // Acta Math. Hung. 1990. Vol. 56, № 3–4. P. 229–238. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01903837.
5. Gogoladze L., Meskhia R. On the absolute convergence of trigonometric Fourier series // Proc. Razmadze Math. Inst. 2006. Vol. 141. P. 29–40.
6. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 4. С. 925–950.
7. Moricz F. Absolute covergence of Walsh–Fourier series and related results // Analysis Math. 2010. Vol. 36, № 4. P. 275–286. DOI: https://doi.org/10.1007/s10476-010-0402-z.
8. Golubov B. I, Volosivets S. S. Generalized absolute convergence of single and double Fourier series with respect to multiplicative systems // Analysis Math. 2012. Vol. 38, № 2. P. 105–122. DOI: https://doi.org/10.1007/s10476-012-0202-8.
9. Vyas R. G. Generalized absolute convergence of trigonometric Fourier series // Modern Mathematical Methods and High Performance Computing in Science and Technology. Springer Proc. in Mathematics and Statistics. 2016. Vol. 171. P. 231–237. DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-10-1454-3_19.
10. Vyas R. G. Absolute convergence of Walsh–Fourier series // Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. 2013. Vol. 56. P. 71–77.
