Образец для цитирования:
Vasilev S. V. An Inverse Spectral Problem for Sturm – Liouville Operators with Singular Potentials on Graphs with a Cycle [Васильев С. В. Обратная задача для операторов Штурма – Лиувилля с сингулярными потенциалами на графах с циклами] // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 4. С. 366-376. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-4-366-376
An Inverse Spectral Problem for Sturm – Liouville Operators with Singular Potentials on Graphs with a Cycle
[Обратная задача для операторов Штурма – Лиувилля с сингулярными потенциалами на графах с циклами]
В данной статье исследуются обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами из класса W2−1 на графе с циклом. Длины рёбер рассматриваемого графа мы будем считать соизмеримыми величинами. В качестве спектральных характеристик мы рассмотрим спектры некоторых краевых задач, а также специальные знаки, аналогично тому, как это сделано в случае классических операторов Штурма–Лиувилля, заданных на графе с циклом. Используя теорему Адамара, мы восстановим характеристические функции по заданным спектрам краевых задач. Применяя восстановленные характеристические функции, мы построим функции Вейля (так называемые m-функции) на рёбрах рассматриваемого графа. Мы покажем, что задание функций Вейля однозначно определяет коэффициенты дифференциального уравнения на исследуемом графе. Также мы получим конструктивную процедуру решения обратной задачи по заданным спектральным характеристикам. Для решения поставленной задачи в работе используются идеи метода спектральных отображений, применённого для решения обратной задачи для классических операторов Штурма –Лиувилля. Полученный результат является обобщением хорошо известных результатов для обратных задач для классических дифференциальных операторов.
1. Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm – Liouville Problems and their Applications. New York, NOVA Science Publ., 2001. 305 p.
2. Beals R., Deift P., Tomei C. Direct and Inverse Scattering on the Line. Math. Surveys and Monographs, vol. 28. Providence, RI, AMS, 1988. 252 p.
3. Yurko V. A. Inverse Spectral Problems for Linear Differential Operators and their Applications. Amsterdam, Gordon and Breach, 2000. 253 p.
4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-Posed Problems Series 31. Utrecht, VSP, 2002. 306 p. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110940961
5. Hryniv R. O., Mykytyuk Ya. V. Inverse spectral problems for Sturm – Liouville operators with singular potentials. Inverse Problems, 2003, vol. 19, no. 3, pp. 665–684. DOI: https://doi.org/10.1088/0266-5611/19/3/312
6. Hryniv R. O., Mykytyuk Ya. V. Transformation operators for Sturm – Liouville operators with singular potentials. Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 2004, vol. 7, iss. 2. pp. 119–149. DOI: https://doi.org/10.1023/B:MPAG.0000024658.58535.74
7. Shkalikov A. A., Savchuk A. M. Sturm – Liouville operators with singular potentials. Math. Notes, 2003, vol. 66, iss. 6, pp. 741–753. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02674332
8. Freiling G., Yurko V. A. Inverse problems for differential operators on trees with general matching conditions. Applicable Analysis, 2007, vol. 86, iss. 6, pp. 653–667. DOI: https://doi.org/10.1080/00036810701303976
9. Yurko V. A. Inverse problems for Sturm – Liouville operators on graphs with a cycle. Operators and Matrices, 2008, vol. 2, no. 4, pp. 543–553. DOI: https://dx.doi.org/10.7153/oam-02-34
10. Yurko V. A. Inverse problem for Sturm – Liouville operators on hedgehogtype graphs. Math. Notes, 2011, vol. 89, iss. 3, pp. 438–449. DOI: https://doi.org/10.1134/S000143461103014X
11.Yurko V. A. Inverse problems for Sturm – Liouville operators on bush-type graphs. Inverse Problems, 2009, vol. 25, no. 10, pp. 125–127. DOII: https://doi.org/10.1088/0266-5611/25/10/105008
12. Yurko V. A. Uniqueness of recovering Sturm – Liouville operators on A-graphs from spectra. Results in Mathematics, 2009, vol. 55, iss. 1–2, pp. 199–207. DOI: https://doi.org/10.1007/s00025-009-0394-9
13. Yurko V. A. On recovering Sturm – Liouville operators on graphs. Math. Notes, 2006, vol. 79, iss. 4, pp. 572–582. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm2732
14. Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential operators on arbitrary compact graphs. Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2010, vol. 18, iss. 3, pp. 245–261. DOI: https://doi.org/10.1515/jiip.2010.009
15. Freiling G., Ignatiev M. Y., Yurko V. A. An inverse spectral problem for Sturm – Liouville operators with singular potentials on star-type graphs. Proc. Symp. Pure Math., 2008, vol. 77, pp. 397–408. DOI: https://doi.org/10.1090/pspum/077/2459883
16. Bondarenko N. P. A 2-edge partial inverse problem for the Sturm – Liouville operators with singular potentials on a star-shaped graph. Tamkang Journal of Mathematics, 2018, vol. 49, no. 1, pp. 49–66. DOI: https://doi.org/10.5556/j.tkjm.49.2018.2425
17. Chuan-Fu Yang, Bondarenko N. P. A partial inverse problem for the Sturm – Liouville operator on the lasso-graph. Inverse Problems & Imaging, 2019, vol. 13, no. 1, pp. 69–79. DOI: https://doi.org/10.3934/ipi.2019004
18. Naimark M. A. Linear differential operators. London, Toronto, Harrap, 1968. Pt. I, 144 p.; Pt. II, 353 p.
19. Vasilev S. V. Recovering the characteristic functions of the Sturm – Liouville differential operators with singular potentials on star-type graph with a cycle. arXiv:1901.10967 [math.SP], 7 p.
