Образец для цитирования:
Щербаков В. И. Признак Дини – Липшица для обобщённых систем Хаара // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 435-448. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2016-16-4-435-448
Признак Дини – Липшица для обобщённых систем Хаара
B работе рассматриваются обобщённые системы Хаара, порождённые (вообще говоря, неограниченной) последовательно- стью {pn} ∞n=1 и определённые на модифицированном отрезке [0, 1]∗ , т. е. на отрезке [0, 1] c «раздвоенными» {pn} — рациональными точками. Основной результат данной работы — установление поточечной оценки между абсолютной величиной разности между непрерывной в заданной точке функции и её n-й частичной суммой Фурье и «поточечным» модулем непрерывности (это понятие (поточечный модуль непрерывности ωn(x, f)) также определяется в данной работе) заданной функции. На основании этой «поточечной» оценки устанавливается равномерная оценка абсолютной величины разности между функцией и её частичными суммами Фурье и модулем непрерывности данной функции. Установлено также достаточное условие поточечной и равномерной ограниченности частичных сумм Фурье по обобщённой системе Хаара для заданной непрерывной функции. На основании этих оценок устанавливается признак сходимости ряда Фурье по обобщённой системе Хаара, аналогичный признаку Дини – Липшица. Показана также неулучшаемость полученного в работе условия. Для любых {pn} ∞n=1 c sup n pn = ∞ построен пример непрерывной на [0, 1]∗ функции, ряд Фурье которой по обобщённой системе Хаара, порождённой последовательностью {pn}, ограниченно расходится в некоторой фиксированной точке. Данный результат может быть применён и на нульмерных компактных абелевых группах.
1. Виленкин H. Я. Об одном классе полных ортогональных систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1947. Т. 11, № 4. С. 363–400.
2. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку : ЭЛМ, 1981. 180 с.
3. Monna A. F. Analyse Non-Archimedienne. Berlin ; Heidelberg ; N.Y. : Springer-Veilag, 1970. 118 с.
4. Хренников А. Ю., Шелкович В. М. Современный p-аддический анализ и математическая физика. Теория и приложения. М. : Физматгиз, 2012. 452 с.
5. Щербаков В. И. Расходимость рядов Фурье по обобщённым системам Хаара в точках непрерывности функции // Изв. вузов. Сер. матем. 2016. № 1. С. 49–68.
6. Щербаков В. И. О поточечной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1983. № 2. С. 37–42.
7. Onneweer C. W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier Series on groups // Michigan Math. J. 1971. Vol. 18, iss. 3. P. 265–273.
8. Щербаков В. И. Признак Дини – Липшица и сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам // Analysis Math. 1984. Vol. 10, iss. 1. P. 133–150.
9. Голубов Б. И. Об одном классе полных ортогональных систем // Сиб. матем. журн. 1968. Т. IX, № 2. С. 297–314.
10. Голубов Б. И., Рубинштейн А. И. Об одном классе систем сходимости // Матем. сб. Нов. сер. 1966. Т. 71, вып. 1. С. 96–115.
11. Лукомский С. Ф. О рядах Хаара на компактной нульмерной группе // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 1. С. 24–29.
12. Price J. J. Certain groups of orthogonal step functions // Canadian J. Math. 1957. Vol. 9, iss. 3. P. 417–425.
13. Chrestenson H. E. A class of generalized Walsh’s functions // Pacific J. Math. 1955. Vol. 5, iss. 1. P. 17–31.
14. Walsh J. L. A constructive of normal orthogonal functions // Amer. J. Math. 1923. Vol. 49, iss. 1. P. 5–24.
15. Paley R. E. A. C. A remarkable series of orthogonal functions // Proc. London Math. Soc. 1932. Vol. 36. P. 241–264.
16. Rademacher H. Enige Satze uber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunctionen // Math. Ann. 1922. B. 87, № 1–2. P. 112–130.
17. Haar A. Zur Theorie der Orthogonalischen Functionsysteme // Math. Ann. 1910. B. 69. P. 331– 371.
18. Комиссарова Н. Е. Функции Лебега по системе Хаара на нульмерных компактных группах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 30–36.
19. Щербаков В. И. Признак Дини – Липшица по обобщённым системам Хаара // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 17-й междунар. Сарат. зимн. шк. Саратов : Научная книга, 2014. С. 307–308.
