Образец для цитирования:
Волосивец С. С., Зайцев Н. Н. Мартингальные неравенства в симметричных пространствах с полумультипликативным весом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 2. С. 126-133. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-2-126-133
Мартингальные неравенства в симметричных пространствах с полумультипликативным весом
Пусть (Ω,Σ,P) является полным вероятностным пространством, F = {F n } ∞ n=0 — возрастающая последовательность σ-алгебр, такая что ∪ ∞ n=0 F n порождает Σ. Если f = {f n } ∞ n=0 является мартингалом по отношению к F и E n — условное (математическое) ожидание по отношению к F n , то можно ввести максимальную функцию M(f) = sup n>0 |f n | и квадратичную функцию S(f) =?∞Pi=0|f i − f i−1 | 2¶ 1/2, f −1 = 0. В случае равномерно интегрируемых мартингалов существует g ∈ L 1 (Ω), такая что E n g = f n , и мы рассматриваем максимальную шарп-функцию f ♯ = sup n>0 E n |g − f n−1 |. Результат Буркхольдера–Ганди–Дэвиса состоит в том, что C 1 kM(f)k p 6 kS(f)k p 6 C 2 kM(f)k при1 < p < ∞,гдеk·k p –-нормавL p (Ω)иC 2 > C 1 > 0.Мы называем неравенство типа kM(f)k p 6 Ckf ♯ k p , 1 < p < ∞, неравенством Феффермана–Стейна. Известно, что мартингальное неравенство Буркхольдера–Ганди–Дэвиса справедливо в перестановочно-инвариантных банаховых функциональных пространствах с нетривиальными индексами Бойда. Мы доказываем это неравенство в более широком классе симметрических пространств (это понятие определяется как в известной монографии С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова) с полумультипликативным весом. Также в этом же классе симметричных пространств получены неравенства типа Феффермана–Стейна,использующиемаксимальнуюшарп-функцию и квадратичные шарп-функции.
1. Burkholder D. Distribution function inequalities for martingales // Ann. of Probab. 1973. Vol. 1, № 1. P. 19–42. DOI: https://doi.org/10.1214/aop/1176997023
2. Burkholder D., Davis B. J., Gundy R. F. Integral inequalities for convex functions of operators on martingales // Proc. Sixth Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob. Univ. of Calif. Press, 1972. Vol. 2. P. 223–240.
3. Johnson W., Schechtman G. Martingale inequalities in rearrangement invariant function space // Israel J. Math. 1988. Vol. 64, № 3. P. 267—275. DOI:
https://doi.org/10.1007/BF02882423
4. Новиков И. Я. Мартингальные неравенства в симметричных пространствах // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 113–120.
5. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М. : Наука, 1978. 400 с.
6. Kikuchi M. Averaging Operators and Martingale Inequalities in Rearrangement Invariant Function Spaces // Canad. Math. Bull. 1999. Vol. 42, iss. 3. P. 321–334. DOI: https://doi.org/10.4153/CMB-1999-038-7
7. Fefferman C., Stein E. H p spaces of several variables // Acta. Math. 1972. Vol. 129, P. 137–193. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392215
8. Garsia A. M. Martingale inequalities. N.Y. : Benjamin Inc., 1973. 184 p.
9. Weisz F. Martingale Hardy spaces and their Applications in Fourier Analysis. Lecture Notes in Maths. Vol. 1568. Berlin : Springer-Verlag, 1994. 220 p. DOI:
https://doi.org/10.1007/BFb0073448
10. Long R. L. Rearrangement techniques in martingale setting // Illinois J. Math. 1991. Vol. 35, № 3. P. 506–521.
11. Ren Y. A note on some inequalities of martingale sharp functions // Math. Inequal. Appl. 2013. Vol. 16, № 1. P. 153–157. DOI: https://doi.org/10.7153/mia-16-11
12. Ho K. P. Martingale inequalities on rearrangement-invariant quasi-Banach function spaces // Acta Sci. Math. (Szeged). 2017. Vol. 83, № 3–4. P. 619–627. DOI:
https://doi.org/10.14232/actasm-012-817-9
13. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М. : Изд-во иностр. лит., 1948. 456 с.
14. Павлов Е. А. Некоторые свойства оператора Харди–Литтлвуда // Матем. заметки. 1979. Т. 260, № 6. С. 909–912.
15. Bagby R., Kurtz D. A rearranged good λ-inequality // Trans. Amer. Math. Soc. 1986. Vol. 293, № 1. P. 71–81. DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1986-0814913-7
16. Kikuchi M. On the Davis inequality in Banach function spaces // Math. Nachrichten. 2008. Vol. 281, № 5. P. 697–709. DOI: https://doi.org/10.1002/mana.200510635
