Образец для цитирования:
Zherdev A. V. An Asymptotic Relation for Conformal Radii of Two Nonoverlapping Domains [Жердев А. В. Асимптотическое соотношение для конформных радиусов двух неналегающих областей] // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 3. С. 274-283. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-3-274-283
An Asymptotic Relation for Conformal Radii of Two Nonoverlapping Domains
[Асимптотическое соотношение для конформных радиусов двух неналегающих областей]
В статье рассматривается семейство замкнутых жордановых кривых, заданных в полярной систем координат и непрерывнозависящих от параметра, и такое, что области, ограниченные эти микривыми, образуют возрастающее или убывающее семейство. Такое семейство областей описывается дифференциальным уравнением Левнера–Куфарева. Для рассмотренного случая получено интегральное представление для управляющей функции в этом уравнении. Используя это представление, получено асимптотическое соотношение, связывающее конформные радиусы ограниченной и неограниченной компоненты дополнения к жордановой кривой, когда ограниченная компонента близка к единичному кругу.
1. Lebedev N. A. Printsip ploshchadei v teorii odnolistnykh funktsii [The area principle in the theory of univalent functions]. Moscow, Nauka, 1975. 336 p. (in Russian).
2. Hamilton D. H. Conformal welding. Handbook of complex analysis: geometric function theory. Ed. R. Kühnau. Amsterdam, North Holland, 2002. 548 p.
3. Grong E., Gumenyuk P., Vasil’ev A. Matching univalent functions and conformal welding. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 2009, vol. 34, pp. 303—314.
4. Bishop C. J. Conformal welding and Koebe’s theorem. Ann. Math., 2007, vol. 166, pp. 613– 656. DOI: https://doi.org/10.4007/annals.2007.166.613
5. Prokhorov D. V. Conformal welding for domains close to a disk. Anal. Math. Phys., 2011, vol. 1, pp. 101—114. DOI: https://doi.org/10.1007/s13324-011-0007-0
6. Prokhorov D. V. Asymptotic conformal welding via Löwner—Kufarev evolution. Comput. Methods Funct. Theory, 2013, vol. 13, no. 1, pp. 37—46. DOI: https://doi.org/10.1007/s40315-012-0002-y
7. Marshall D. E. Conformal Welding for Finitely Connected Regions. Comput. Methods Funct. Theory, 2012, vol. 11, pp. 655–669. DOI: https://doi.org/10.1007/BF03321879
8. Löwner K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I. Math. Ann., 1923, vol. 89, pp. 103–121.
9. Kufarev P. P. Ob odnoparametricheskikh semeistvakh analiticheskikh funktsii [On one-parametric families of analytic functions]. Mat. Sbornik, 1943, vol. 13(55), no. 1, pp. 87–118 (in Russian).
10. Pommerenke Ch. Uber die Subordination analytischer Funktionen. J. Reine Angew. Math., 1965, vol. 218, pp. 159–173. DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1965.218.159
11. Pommerenke Ch. Univalent functions. Gottingen, Vandenhoeck and Ruprecht, 1975. 376 p.
12. Siryk G. V. O konformnom otobrazhenii blizkikh oblastei [On a conformal mapping of near domains]. Uspekhi Mat. Nauk, 1956, vol. 11, no. 5(71), pp. 57–60 (in Russian).
13. Lavrentyev M. A., Shabat B. V. Metody teorii funktsii kompleksnogo peremennogo [Methods of Function Theory of a Complex Variable]. Moscow, Nauka, 1965. 716 p. (in Russian).
14. Pommerenke Ch. Boundary Behaviour of Conformal Maps. Berlin, Springer-Verlag, 1992. 300 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02770-7
