Образец для цитирования:
Шерстюков В. Б. К проблеме Леонтьева о целых функциях вполне регулярного роста // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2. С. 30-35. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2013-13-2-1-30-35
К проблеме Леонтьева о целых функциях вполне регулярного роста
Рассматривается произвольная целая функция экспоненциального типа, все нули которой просты и образуют последовательность с нулевым индексом конденсации. На множестве нулей такой функции ее производная растет в определенном смысле максимально быстро. Требуется выяснить, будет ли исходная функция обладать полной регулярностью роста. Эта задача, возникшая в теории представления аналитических функций рядами экспонент, была поставлена А. Ф. Леонтьевым более сорока лет назад и пока не решена. В настоящей работе показано, что означенная проблема решается положительно, если функция “не слишком мала” на некоторой прямой.
Леонтьев А. Ф. Об условиях разложимости ана-
литических функций в ряды Дирихле // Изв. АН
СССР. Сер. мат. 1972. Т. 36, № 6. С. 1282–1295. DOI:
10.1070/IM1972v006n06ABEH001918.
2. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.
М. : Гостехиздат, 1956. 632 с.
3. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М. : Наука, 1976.
536 с.
4. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.
М. : Наука, 1983. 175 с.
5. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы //
УМН. 1981. Т. 36, № 1. С. 73–126. DOI: 10.1070/RM
1981v036n01ABEH002542.
6. Абанин А. В. Слабо достаточные множества и аб-
солютно представляющие системы : дис. . . . д-ра физ.-
мат. наук. Ростов н/Д, 1995. 268 с.
7. Братищев А. В. Один тип оценок снизу целых функ-
ций конечного порядка и некоторые приложения //
Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48, № 3. С. 451–
475.
8. Коробейник Ю. Ф. Максимальные и γ-достаточные
множества. Приложения к целым функциям. II // Тео-
рия функций, функциональный анализ и их приложе-
ния. Харьков, 1991. В. 55. С. 23–34.
9. Шерстюков В. Б. К вопросу о γ-достаточных множе-
ствах // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 4. С. 935–943.
DOI: 10.1007/BF02679704.
10. Шерстюков В. Б. Об одной задаче Леонтьева и
представляющих системах экспонент // Мат. замет-
ки. 2003. Т. 74, № 2. С. 301–313. DOI: 10.1023/
A:1025068527611.]
11. Шерстюков В. Б. Об одном подклассе целых функ-
ций вполне регулярного роста // Комплексный ана-
лиз. Теория операторов. Математическое моделирова-
ние. Владикавказ : Изд-во ВНЦ РАН, 2006. С. 131–138.
12. Шерстюков В. Б. О некоторых признаках полной
регулярности роста целых функций экспоненциального
типа // Мат. заметки. 2006. Т. 80, № 1. С. 119–130.
DOI: 10.1007/s11006-006-0115-6.
13. Братищев А. В. К одной задаче А. Ф. Леонтьева //
Докл. АН СССР. 1983. Т. 270, № 2. С. 265–267.
14. Мельник Ю. И. О представлении регулярных функ-
ций рядами типа рядов Дирихле // Исследование по
теории приближений функций и их приложения. Ки-
ев : Наук. думка, 1978. С. 132–141.
15. Мельник Ю. И. Об условиях сходимости рядов Ди-
рихле, представляющих регулярные функции // Мате-
матический анализ и теория вероятности. Киев : Наук.
думка, 1978. С. 120–123.
16. Мельник Ю. И. Об условиях разложимости регуляр-
ных функций в ряды экспонент // Всесоюз. симпозиум
по теории аппроксимации функций в комплексной об-
ласти : тез. докл. Уфа : БФ АН СССР, 1980. С. 94.
17. Братищев А. В. Базисы Кете, целые функции и их
приложения : дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. Ростов н/Д,
1997. 248 с.
18. Ingham A. E. A note on Fourier transforms // J.
London Math. Soc. 1934. Vol. 9. P. 29–32.
19. Levinson N. Gap and density theorems. N. Y. : Amer.
Math. Soc., 1940. 246 p.
20. Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразо-
ваний Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М. :
Физматлит, 2005. 503 с.
21. Левин Б. Я. Почти периодические функции с огра-
ниченным спектром // Актуальные вопросы математи-
ческого анализа. Ростов н/Д : Изд-во Ростов. гос. ун-
та, 1978. С. 112–124.
