Образец для цитирования:
Рыхлов В. С. О кратной полноте корневых функций пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и распадающимися краевыми условиями // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 2. С. 134-151. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-2-134-151
О кратной полноте корневых функций пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и распадающимися краевыми условиями
В пространстве суммируемых с квадратом функций на отрезке [0,1] рассматривается класс полиномиальных пучков обыкновенных дифференциальных операторов n-го порядка. Коэффициенты дифференциального выражения предполагаются постоянными. Краевые условия являются распадающимися и двухточечными в концах 0 и 1 (l краевых условий берутся только в точке 0, а остальные n − l — в точке 1). Дифференциальное выражение и краевые формы предполагаются однородными, т.е. содержат только главные части. Предполагается, что корни характеристического уравнения пучков этого класса простые, отличны от нуля и лежат на двух лучах, исходящих изначала координат, в количествах k и n − k. Формулируются достаточные условия m-кратной полноты с возможным конечным дефектом системы корневых функций пучков этого класса в пространстве суммируемых с квадратом функций на основном отрезке. Кратность m полноты зависит от соотношений параметров n, l и k. При этом предполагается отличие от нуля некоторых вполне конкретных определителей, построенных по коэффициентам краевых условий и корням характеристического многочлена. Дается оценка сверху возможного конечного дефекта.
1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 526 с.
2. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. 1971. Т. 26, вып. 4(160). С. 15–41.
3. Рыхлов В. С. О полноте корневых функций полиномиальных пучков обыкновенных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // Таврический вестник информатики и математики. 2015. № 1(26). С. 69–86.
4. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, № 1. С. 11–14.
5. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1973. 242 с.
6. Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц. анализ и его прилож. 1976. Т. 10, вып. 4. С. 69–80.
7. Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-büschel // Math. Z. 1984. Vol. 188. P. 55–68.
8. Тихомиров С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1987. 126 с.
9. Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростовн/Д : Изд-во Рост. ун-та, 1994. 160 с.
10. Рыхлов В. С. О кратной полноте корневых функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка с постоянными коэффициентами // СМФН. 2017. Т. 63, вып. 2. С. 340–361. DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2017-63-2-340-361
11. Rykhlov V. S. Multiple Completeness of the Root Functions for a Certain Class of Pencils of Ordinary Differential Operators // Results in Mathematics. 2017. Vol. 72, iss. 1–2. P. 281–301. DOI: https://doi.org/10.1007/s00025-016-0599-7
