Образец для цитирования:
Гаркавенко Г. В., Ускова Н. Б. Спектральный анализ одного класса разностных операторов с растущим потенциалом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 395-402. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2016-16-4-395-402
Спектральный анализ одного класса разностных операторов с растущим потенциалом
В работе метод подобных операторов применяется для спектрального анализа разностного замкнутого оператора вида (A x)(n) = x(n + 1) + x(n − 1) − 2x(n) + a(n)x(n), n ∈ Z, рассматриваемого в гильбертовом пространстве l2(Z) двусторонних последовательностей комплексных чисел с растущим потенциалом a : Z → C. Получены асимптотики собственных значений, собственных векторов, оценки равносходимости спектральных разложений для исследуемого оператора и оператора умножения на последовательность a : Z → C. Для исследования рассматриваемого оператора он представляется в виде A − B, где (Ax)(n) = a(n)x(n), n ∈ Z, x ∈ l2(Z) с естественной обла стью определения. Этот оператор является нормальным с известными спектральными свойствами и выступает в качестве невозмущенного оператора в методе подобных операторов. В качестве возмущения выступает ограниченный оператор (Bx)(n) = −x(n + 1) − x(n − 1) + 2x(n), n ∈ Z, x ∈ l2(Z).
1. Мусилимов Б., Отелбаев М. Оценка наименьшего собственного значения одного класса матриц, соответствующих разностному уравнению Штурма – Лиувилля // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1981. Т. 21, № 6. С. 1430–1434.
2. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24, № 1. С. 21–39.
3. Баскаков А. Г. Теорема о расщиплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, № 3. С. 435–457.
4. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущен- ных неквазианалитических и спектральных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 54, № 4. С. 3–32.
5. Баскаков А. Г., Дербушев А. В., Щербаков А. О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т. 75, № 3. С. 3–28. DOI: https://doi.org/10.4213/im4202.
6. Ускова Н. Б. О спектральных свойствах оператора Штурма – Лиувилля с матричным потенциалом // Уфимск. матем. журн. 2015. Т. 7, № 3. С. 88–99.
7. Поляков Д. М. Спектральный анализ несамосопряженного оператора четвертого порядка с негладкими коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56, № 1. С. 165–184.
8. Баскаков А. Г. Оценки функции Грина и параметров экспоненциальной дихотомии гиперболической полугруппы операторов и линейных отношений // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 23–62. DOI: https://doi.org/10.4213/sm8193.
9. Гаркавенко Г. В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов // Изв. вузов. Ма- тем. 1994. № 11. С. 14–19.
10. Ускова Н. Б. К методу подобных операторов в ба- наховых алгебрах // Изв. вузов. Матем. 2005. № 3 (514). С. 79–85.
11. Ускова Н. Б. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора второго порядка с матричным потенциалом // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 5. С. 579–588.
12. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы : в 3 т. Т. 3 : Спектральные операторы. М. : Мир, 1974. 664 с.
