Образец для цитирования:
Навасардян К. А. О представлении функций абсолютно сходящимися рядами по H-системам // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 1. С. 49-61. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-1-49-61
О представлении функций абсолютно сходящимися рядами по H-системам
Рассматриваются вопросы представления абсолютно сходящимися рядами функций в пространствах однородного типа. Во введении приводится определение системы типа Хаара (H -системы), связанной с некоторой диадической системой в пространстве однородного типа X. Доказывается, что для любой, почти всюду (п.\,в.) конечной, измеримой на X функции f существует абсолютно сходящийся ряд по системе H, который сходится к f п.\,в. на X. Из этой теоремы, в частности, следует, что если H={h_n}- обобщенная система Хаара, порожденная ограниченной последовательностью p_k, то для любой п.\,в. конечной на [0,1] измеримой функции f существует абсолютно сходящийся ряд по системе {h_n}, который п.\,в. сходится к f(x). Доказывается, что если X - ограниченное множество, то любую п.\,в. конечную, измеримую функцию можно изменить на множестве сколь угодно малой меры так, чтобы ряд Фурье полученной функции по системе H сходился равномерно. Результаты статьи получены методами метрической теории функций.
1. Macias R., Segovia C. Lipschitz functions on spaces of homogeneous type // Adv. in Math. 1979. Vol. 33. P. 271–309.
2. Christ A. A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral // Colloquium Math. 1990. Vol. 60/61, iss. 2. P. 601–628.
3. Aimar H., Bernardis A., Iaffel B. Multiresolution Approximations and Unconditional Bases on Weighted Lebesgue Spaces on Spaces of Homogeneous Type // J. Approx. Theory. 2007. Vol. 148, iss. 1. P. 12–34. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2007.02.002
4. Aimar H., Bernardis A., Nowak L. Equivalence of Haar Bases Associated to Different Dyadic Systems // J. of Geometric Analysis. 2011. Vol. 21, iss. 2. P. 288–304. DOI: https://doi.org/10.1007/s12220-010-9148-x
5. Aimar H., Bernardis A., Nowak L. Dyadic Fefferman–Stein Inequalities and the Equivalence of Haar Bases on Weighted Lebesgue Spaces // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Math. 2011. Vol. 141, iss. 1. P. 1–22. DOI: https://doi.org/10.1017/S0308210509001796
6. Лузин Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М. ; Л. : Гостехиздат, 1951. 550 с.
7. Арутюнян Ф. Г. О рядах по системе Хаара // Докл. АН АрмССР. 1966. Т. 42, № 3. С. 134–140.
8. Давтян Р. С. О представлении функций ортогональными рядами, обладающими мартингальными свойствами // Матем. заметки. 1976. Т. 19, № 5. С. 673–680. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01142560
9. Gevorkjan G. G. On the Representation of Measurable Functions by Martingales // Analysis Math. 1982. Vol. 8, № 4. P. 239–256. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02201774
10. Gevorkian G. G. Representation of Measurable Functions by Absolutely Convergent Series of Translates and Dilates of One Function // East J. Approx. 1996. Vol. 2, № 4. P. 439 458.
11. Голубов Б. И. Об одном классе полных ортогональных систем // Сиб. матем. журн. 1968. Т. 9, № 2. С. 297–314.
