Образец для цитирования:
Akniev G. G. Approximation of Continuous 2 p-Periodic Piecewise Smooth Functions by Discrete Fourier Sums [Акниев Г. Г. Приближение непрерывных 2π-периодических кусочно-гладких функций дискретными суммами Фурье] // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 1. С. 4-15. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-1-4-15
Approximation of Continuous 2 p-Periodic Piecewise Smooth Functions by Discrete Fourier Sums
[Приближение непрерывных 2π-периодических кусочно-гладких функций дискретными суммами Фурье]
Пусть N > 2 — некоторое натуральное число. Выберем на вещественной оси N равномерно расположенных точек tk = 2πk/N + u (0 6 k 6 N − 1). Обозначим через Ln,N(f) = Ln,N(f,x) (1 6 n 6 N/2) тригонометрический полином порядка n, обладающий наименьшим квадратичным отклонением от f относительно системы{tk}N−1 k=0 . Выберем m+1 точку −π = a0 < a1 < ... < am−1 < am = π, где m > 2, и обозначим Ω = {ai}m i=0. Через Cr Ω обозначим класс 2π-периодических непрерывных функций f, r-раз дифференцируемых на каждом сегменте ∆i = [ai,ai+1], причем производная f(r) на каждом ∆i абсолютно непрерывна. В данной работе рассмотрена задача приближения функций f ∈ C2 Ω полиномами Ln,N(f,x). Показано, что вместо оценки|f(x)−Ln,N(f,x)| 6 clnn/n, которая следует из известного неравенства Лебега, найдена точная по порядку оценка|f(x)−Ln,N(f,x)| 6 c/n (x ∈ R), которая равномерна относительноn(1 6 n 6 N/2).Крометого,найденалокальнаяоценка|f(x)−Ln,N(f,x)| 6 c(ε)/n2 (|x−ai| > ε), которая также равномерна относительно n (1 6 n 6 N/2). Доказательства этих оценок основаны на сравнении дискретных и непрерывных конечных сумм ряда Фурье.
1. Bernshtein S. N. O trigonometricheskom interpolirovanii po sposobu naimen’shih kvadratov [On trigonometric interpolation by the method of least squares]. Dokl. Akad. Nauk USSR, 1934, vol. 4, pp. 1–5 (in Russian).
2. Erd¨os P. Some theorems and remarks on interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged), 1950, vol. 12, pp. 11–17.
3. Kalashnikov M. D. O polinomah nailuchshego (kvadraticheskogo) priblizheniya v zadannoy sisteme tochek [On polynomials of best (quadratic) approximation on a given system of points]. Dokl. Akad. Nauk USSR, 1955, vol. 105, pp. 634–636 (in Russian).
4. Krilov V. I. Shodimost algebraicheskogo interpolirovaniya po kornyam mnogochlena Chebisheva dlya absolutno neprerivnih funkciy i funkciy s ogranichennim izmeneniyem [Convergence of algebraic interpolation with respect to the roots of a Chebyshev polynomial for absolutely continuous functions and functions with bounded variation]. Dokl. Akad. Nauk USSR, 1956, vol. 107, pp. 362–365 (in Russian).
5. Marcinkiewicz J. Quelques remarques sur l’interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged), 1936, vol. 8, pp. 127–130 (in French).
6. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynˆomes d’interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged), 1936, vol. 8, pp. 131–135 (in French).
7. Natanson I. P. On the Convergence of Trigonometrical Interpolation at Equi-Distant Knots. Annals of Mathematics, Second Ser., 1944, vol. 45, no. 3, pp. 457–471. DOI: http://doi.org/10.2307/1969188
8. Nikolski S. M. Sur certaines methodes d’approximation au moyen de sommes trigonome?triques. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 1940, vol. 4, iss. 4, pp. 509–520 (in Russian).
9. Turetskiy A. H. Teorija interpolirovanija v zadachah [Interpolation theory in exercises]. Minsk, Vissheyshaya Shkola Publ., 1968. 320 p. (in Russian).
10. Zygmund A. Trigonometric Series. Vol. 1. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1959. 747 p.
11. Akniyev G. G. Discrete least squares approximation of piecewise-linear functions by trigonometric polynomials. Issues Anal., 2017, vol. 6 (24), iss. 2, pp. 3–24. DOI: http://doi.org/10.15393/j3.art.2017.4070
12. Sharapudinov I. I. On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation. Anal. Math., 1983, vol. 9, iss. 3, pp. 223–234.
13. Sharapudinov I. I. Overlapping transformations for approximation of continuous functions by means of repeated mean Valle Poussin. Daghestan Electronic Mathematical Reports, 2017, iss. 8, pp. 70–92.
14. Courant R. Differential and Integral Calculus. Vol. 1. New Jersey, Wiley-Interscience, 1988. 704 p.
