Математика

Предлагается новый подход к решению краевой задачи Гильберта для аналитической функции в многосвязной круговой области, основанный на построении решения соответствующей однородной задачи, когда определяется аналитическая в области функция по известным граничным значениям её аргумента. Рассматривается особый случай задачи, когда индекс задачи неотрицателен и меньше порядка связности области, уменьшенного на единицу. Картина разрешимости задачи зависит от разрешимости и числа решений соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

 Рассматривается произвольная целая функция экспоненциального типа, все нули которой просты и образуют последовательность с нулевым индексом конденсации. На множестве нулей такой функции ее производная растет в определенном смысле максимально быстро. Требуется выяснить, будет ли исходная функция обладать полной регулярностью роста. Эта задача, возникшая в теории представления аналитических функций рядами экспонент, была поставлена А. Ф. Леонтьевым более сорока лет назад и пока не решена.

Рассматривается класс сильно нерегулярных пучков обыкновенных дифференциальных операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Предполагается, что корни характеристического уравнения пучков этого класса лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, по разные стороны от него. Найден точный отрезок, на котором система собственных функций 2-кратно полна в пространстве суммируемых с квадратом функций. 

 В работе получено необходимое условие экстремума квадратичного функционала с интегралом Стилтьеса для случая, когда коэффициент при старшей производной может обращаться в нуль на части интервала. Показано, что получаемая математическая модель обладает свойством невырожденности. Доказано, что разнопорядковая граничная задача, возникающая как необходимое условие экстремума, занимает “промежуточное” положение между краевыми задачами четвертого и второго порядков – пространство решений имеет размерность три.